Problema 2

Considere que la cantidad producida por una firma es $Q=\gamma[a K^{\rho} +(1-a) L^{\rho} ]^{\frac{1}{\rho}}$, donde $\gamma>0$, $a\in (0,1)$, $K>0$ y $L>0$ están dados. Obtenga $\displaystyle\lim_{\rho\to 1} Q$. Su respuesta quedará en términos de $\gamma$, $a$, $K$ y $L$.

Respuesta corta: Evaluamos $\rho=1$ y obtenemos $\displaystyle\lim_{\rho\to 1} Q=\gamma[a K +(1-a) L ]$.

Respuesta larga: La cantidad producida no es más que una gran cantidad de funciones "simples" ponderadas por escalares, sumadas entre ellas y elevadas entre ellas.
En efecto, $K^{\rho}$ y $L^{\rho}$ son funciones constantes positivas elevadas a la variable $\rho$, por lo que sus límites serían $K$ y $L$, respectivamente.
Luego, $a K^{\rho} +(1-a) L^{\rho}$ es una suma ponderada de dos funciones cuyo límite existe, por lo que el límite de la suma ponderada es igual a la suma ponderada de los límites individuales, es decir, converge a $a K +(1-a) L$.
Ahora, como sabemos que la suma ponderada anterior tiene un límite definido y además toma valores positivos, $[a K^{\rho} +(1-a) L^{\rho} ]^{\frac{1}{\rho}}$ pasa a ser una función (la suma ponderada) elevada a otra función $\left(\dfrac{1}{\rho}\right)$, ambas con límites definidos. Por lo tanto, el límite existe y es $[a K+(1-a) L]^{1}$.
Finalmente, como el límite anterior existe, al ponderar la "suma ponderada elevada" por $\gamma$ y calcular el límite se obtiene $\gamma$ veces el límite de la "suma ponderada elevada", esto es, $\displaystyle\lim_{\rho\to 1} Q=\gamma[a K +(1-a) L ]$.

Bonus (avanzado): La función descrita es la famosa función CES (Constant Elasticity of Substitution), donde la elasticidad de sustitución es $\sigma=\dfrac{1}{1-\rho}$. En efecto, cuando $\rho\to 1$ se tiene que la elasticidad de sustitución tiende a infinito $\left(\displaystyle\lim_{\rho\to 1}\sigma=+\infty\right)$, por lo que la función resultante es precisamente una función de "sustitutos perfectos". Esto puede ser muy útil en otros cursos...