En primer lugar, obtenemos la pendiente de la recta secante a $f$ en el intervalo $[0,3]$: $$m=\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=\dfrac{(27-27+6+1)-(0-0+0+1)}{3-0}=\dfrac{6}{3}=2.$$
Luego, sabemos que debe existir al menos un $c$ tal que $f'(c)=2$. Derivamos $f$ e igualamos con $2$, de modo que $f'(c)=3c^2-6c+2=2\implies c= 0 \wedge 2$.
Por lo tanto, en $x=0$ y en $x=2$ se satisface el Teorema del Valor Medio en el intervalo cerrado $[0,3]$.