En efecto, podemos utilizar un 1 conveniente en el exponente y obtener $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{(1+ax)^{\frac{ax}{ax}\cdot a}-1}{x}$. Luego, como $x\to 0\implies ax\to 0$ podemos utilizar el límite conocido $\displaystyle \lim_{ax\to 0} (1+ax)^{\frac{1}{ax}}=e$ para obtener $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\exp(a^2x)-1}{x}$.
Ahora bien, sea $y=\exp(a^2x)-1$, de modo que $x\to 0\implies y\to 0$. Despejando tenemos que $x=\dfrac{\ln(y+1)}{a^2}$. Así, redefinimos el límite como $\displaystyle \lim_{y\to 0} \dfrac{y}{\dfrac{\ln(y+1)}{a^2}}=\displaystyle \lim_{y\to 0} \dfrac{a^2}{\dfrac{\ln(y+1)}{y}}$. Usando el límite conocido $\displaystyle \lim_{y\to 0} \dfrac{\ln(y+1)}{y}=1$ obtenemos la respuesta.
Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{(1+ax)^{a}-1}{x}=a^2. \qquad\square$