Determine el valor de $a$ para que la siguiente función sea continua en $x=0$.
$$f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}
\dfrac{\ln(1-a^2x^2)-\ln(1-ax)}{x} & \text{si } x\neq 0 \\
x^2+\pi & \text{si } x=0
\end{matrix}\right.$$
Para que sea continua en $x=0$ debe cumplirse que $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=f(0)$.
Es directo notar que $f(0)=\pi$.
Computando el límite cuando $x\to 0$ obtenemos
$$\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1-a^2x^2)-\ln(1-ax)}{x}=\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln\dfrac{1-a^2x^2}{1-ax}}{x}=\lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1+ax)}{x}=a,$$
donde la última igualdad se da por un límite que ya resolvimos anteriormente utilizando límites conocidos.
Por lo tanto, para que $f(x)$ sea continua en $x=0$ es necesario que $a=\pi$.