Como cada parte de la función es derivable en su propio tramo (son polinomios), basta con corroborar las condiciones para que $f(x)$ sea derivable en $x=1$.
La derivada de $f(x)$ cuando $x<1$ es $\left. f'(x)\right|_{x<1}=a^2$, mientras que si $x\geq 1$ tenemos que $\left. f'(x)\right|_{x\geq 1}=9x^2$.
En el umbral definido por $x=1$ estas pendientes deben ser equivalentes (para que la función sea derivable en todo el dominio), es decir, imponemos $a^2=9\implies a=\pm 3$.
Sin embargo, notamos que si $a=3$, entonces la función no sería continua en $x=1$. Como derivabilidad implica continuidad, esto no puede ser.
Por lo tanto $a=-3$, pues es el único valor que hace que la función sea continua y derivable en todo el dominio.
NOTA: Perfectamente podrían darse casos en que no existieran valores de un parámetro tal que una función sea derivable en todo su dominio.